O
ábaco
Segundo
historiadores, foi inventado na Mesopotânia, de uma forma primitiva, e depois
aperfeiçoado por chineses e romanos.Originou-se do Latim (abacus), veio do
Grego (abakos).
Utilizado
para diversas operações aritiméticas, tais como: adição, subtração,
multiplicação, divisão e para a resolução de alguns problemas como frações e
raízes quadradas.
Há vários tipos diferentes de
ábacos, mas todos obedecem basicamente aos mesmos princípios. Vamos nos referir
ao mais simples deles. Numa moldura de madeira são fixados alguns fios de
arame. Dez bolinhas correm em cada fio. As do 1º fio representam as unidades;
as do 2º fio representam as dezenas; as do 3º fio, as centenas e assim por
diante.
Tabela
de diferentes tipos de ábacos, momento histórico de surgimento e utilidades
para a humanidade( forma de contagem).
Ábaco mesopotâmico
O primeiro ábaco foi quase de certeza
construído numa pedra lisa coberta por areia ou pó. Palavras e letras eram desenhadas
na areia; números eram eventualmente adicionados e bolas de pedra eram
utilizadas para ajuda nos cálculos. Os babilóniosutilizavam
este ábaco em 2700–2300 a.C. A origem do ábaco de contar com
bastões é obscuro, mas a Índia,
a Mesopotâmia ou o Egito são
vistos como prováveis pontos de origem. A China desempenhou
um papel importante no desenvolvimento do ábaco.
Ábaco babilónio
Os babilónios podem ter utilizado o ábaco
para operações de adição e subtracção. No entanto, este dispositivo primitivo
provou ser difícil para a utilização em cálculos mais complexos. Algumas
pessoas conhecem um caracter do alfabeto cuneiforme babilónio que pode ter sido
derivado de uma representação do ábaco. Por
isso esse ábaco é muito importante.
Ábaco egípcio
O uso do ábaco no antigo Egito é
mencionado pelo historiador grego Crabertotous,
que escreve sobre a maneira do uso de discos (ábacos) pelos egípcios, que era
oposta na direção quando comparada com o método grego. Arqueologistas
encontraram discos antigos de vários tamanhos que se pensam terem sido usados
como material de cálculo. No entanto, pinturas de parede não foram descobertas,
espalhando algumas dúvidas sobre a intenção de uso deste instrumento.
Ábaco
grego
Uma tábua encontrada na ilha grega de Salamina em 1846 data
de /300_a.C."a.C.,
fazendo deste o mais velho ábaco descoberto até agora. É um ábaco de mármore de
149 cm de comprimento, 75 cm de largura e de 4,5 cm de
espessura, no qual existem 5 grupos de marcações. No centro da tábua existe um
conjunto de 5 linhas paralelas igualmente divididas por uma linha vertical,
tampada por um semicírculo na intersecção da linha horizontal mais ao canto e a
linha vertical única. Debaixo destas linhas, existe um espaço largo com uma
rachadura horizontal a dividi-los. Abaixo desta rachadura, existe outro grupo
de onze linhas paralelas, divididas em duas secções por uma linha perpendicular
a elas, mas com o semicírculo no topo da intersecção; a terceira, sexta e nona
linhas estão marcadas com uma cruz onde se intersectam com a linha vertical.
Ábaco romano
Ábaco romano
O método normal de cálculo na Roma antiga,
assim como na Grécia antiga, era mover bolas de contagem numa tábua própria
para o efeito. As bolas de contagem originais denominavam-se calculi. Mais tarde, e na Europa
medieval, os jetons começaram
a ser manufacturados. Linhas marcadas indicavam unidades, meias dezenas,
dezenas, etc., como na numeração romana. O sistema de contagem contrária continuou até à queda de Roma, assim como
na Idade Média e até ao século XIX, embora já com uma utilização mais limitada.
Em adição às mais utilizadas bolas de
contagem frouxas, vários espécimens de um ábaco romano foram encontrados,
mostrados aqui em reconstrução. Tem oito longos sulcos contendo até 5 bolas em
cada e 8 sulcos menores tendo tanto uma como nenhuma bola.
Nos sulcos menores, o sulco marcado I marca
unidades, o X dezenas e assim sucessivamente até aos milhões. As bolas nos
sulcos menores marcam os cincos - cinco unidades, cinco dezenas, etc. -
essencialmente baseado na numeração romana. As duas últimas colunas de sulcos serviam
para marcar as subdivisões da unidade monetária. Temos de ter em conta que a
unidade monetária se subdividia em 12 partes, o que implica que o sulco longo
marcado com o sinal 0(representando os múltiplos da onça ou duodécimos da
unidade monetária) comporte um máximo de 5 botões, valendo cada uma 1 onça, e
que o botão superior valha 6 onças. Os sulcos mais pequenos à direita são
fracções da onça romana sendo respectivamente, de cima para baixo, ½ onça, ¼
onça e ⅓ onça.
Ábaco
indiano
Fontes do século I,
como a Abhidharmakosa, descrevem
a sabedoria e o uso do ábaco na Índia. Por volta do século V,
escrivães indianos estavam já à procura de gravar os resultados do Ábaco. Textos hindus usavam
o termo shunya (zero)
para indicar a coluna vazia no ábaco.
Ábaco chinês
Suanpan
(o número representado na figura é 6.302.715.408).
A menção mais antiga a um suanpan (ábaco chinês) é encontrada
num livro do século I daDinastia_Han_Oriental,
o Notas Suplementares na Arte das
Figuras escrito por Xu Yue.No entanto, o aspecto exacto deste suanpan é desconhecido.
Habitualmente, um suanpan tem cerca de 20 cm de altura e vem em variadas
larguras, dependendo do fabricante. Tem habitualmente mais de sete hastes.
Existem duas bolas em cada haste na parte de cima e cinco na parte de baixo,
para números decimais e hexadecimais.
Ábacos mais modernos tem uma bola na parte de cima e quatro na parte de baixo.
As bolas são habitualmente redondas e feitas em madeira. As bolas são contadas
por serem movidas para cima ou para baixo. Se as mover para o alto, conta-lhes
o valor; se não, não lhes conta o valor. O suanpan pode voltar à posição inicial instantaneamente por um
pequeno agitar ao longo do eixo horizontal para afastar todas as peças do
centro.
Os suanpans podem
ser utilizados para outras funções que não contar. Ao contrário do simples
ábaco utilizado nas escolas, muitas técnicas eficientes para o suanpan foram feitas para calcular
operações que utilizam a multiplicação, a divisão,
a adição, a subtracção,
a raiz quadrada e a raiz cúbica a
uma alta velocidade.
No famoso quadro Cenas à Beira-mar no Festival de Qingming pintado por Zhang Zeduan (1085-1145)
durante a Dinastia Song"Song(960-1297),
um suanpan é claramente
visto ao lado de um livro de encargos e de prescrições do doutor na secretária
de um apotecário.
A similaridade do ábaco romano com o suanpan sugere que um pode ter
inspirado o outro, pois existem evidências de relações comerciais entre o Império
Romano e a China. No entanto, nenhuma ligação directa é passível de ser
demonstrada, e a similaridade dos ábacos pode bem ser concidência, ambos
derivando da contagem de cinco dedos por mão. Onde o modelo romano tem 4 mais 1
bolas por espaço decimal, o suanpan padrão
tem 5 mais 2, podendo ser utilizado com números hexadecimais, ao contrário do
romano. Em vez de funcionar em cordas como os modelos chinês e japonês, o ábaco
romano funciona em sulcos, provavelmente fazendo os cálculos mais difíceis.
Outra fonte provável do suanpan são as pirâmides numéricas chinesas, que operavam com o sistema
decimal mas não incluiam o conceito de zero. O zero foi provavelmente
introduzido aos chineses na Dinastia.
O suanpan migrou
da China para a Coreia em cerca do ano 1400.
Os coreanos chamam-lhe jupan (주판), supan (수판)
or jusan (주산).
Ábaco japonês
Um soroban (算盤,
そろばん, lit. tábua de contar) é uma versão modificada pelos japoneses do suanpan. É planeado do suanpan, importado para o Japão antes
do século XVI.No
entanto, a idade de transmissão exacta e o meio são incertos porque não existem
registos específicos.Como
o suanpan, o soroban ainda hoje é utilizado no
Japão, apesar da proliferação das calculadoras de bolso, mais baratas.
A Coreia tem também o seu próprio, o supan (수판),
que é basicamente o soroban antes
de tomar a sua atual forma nos anos 30.
Osoroban moderno também tem este
nome.
Ábacos dos nativos americanos
Algumas fontes mencionam o uso de um ábaco
chamado nepohualtzintzin na
antiga cultura azteca. Este ábaco mesoamericano utiliza um sistema de base 20
com 5 dígitos.
O quipu dos
Incas era um sistema de cordas atadas usado para gravar dados numéricos, como
varas de registo avançadas - mas não eram usadas para fazer cálculos. Os
cálculos eram feitos utilizando uma yupana (quechuapara tábua
de contar), que estava ainda em uso depois da conquista do Peru. O princípio
de trabalho de umayupana é
desconhecido, mas, em 2001, uma explicação para a base matemática deste
instrumento foi proposta. Por comparação à forma de várias yupanas, os investigadores descobriram
que os cálculos eram baseados na sequência,
utilizando 1,1,2,3,5 e múltiplos de 10, 20 e 40 para os diferentes campos do
instrumento. Utilizar a sequência Fibonnaci manteria o número de bolas num
campo no mínimo.
Ábaco russo
O ábaco russo, o schoty (счёты), normalmente tem apenas um lado comprido, com
10 bolas em cada fio (excepto um que tem 4 bolas, para frações de quartos de
rublo). Este costuma estar do lado do utilizador. (Modelos mais velhos têm
outra corda com 4 bolas, para quartos de kopeks, que eram emitidos até 1916.
O ábaco russo é habitualmente utilizado na vertical, com os fios da esquerda
para a direita ao modo do livro. As bolas são normalmente curvadas para se
moverem para o outro lado no centro, em ordem para manter as bolas em cada um
dos lados. É clarificado quando as bolas se devem mover para a direita. Durante
a manipulação, as bolas são movidas para a direita. Para mais fácil
visualização, as duas bolas do meio de cada corda (a 5ª e a 6ª; no caso da
corda excepção, a 3ª e a 4ª) costumam estar com cores diferentes das outras
oito. Como tal, a bola mais à esquerda da corda dos milhares (e dos milhões, se
existir) costuma também estar pintada de maneira diferente.
O ábaco russo estava em uso em todas as
lojas e mercados de toda a antiga União Soviética, e o uso do ábaco era ensinado em todas as
escolas até aos anos 90.
Hoje é visto como algo arcaico e foi substituído pela calculadora. Na escola, o
uso da calculadora é ensinado desde os anos 90.
Ábaco escolar
Ábaco
escolar utilizado numa escola primária dinamarquesa, do século XX.
Em todo o mundo, os ábacos têm sido
utilizados na educação infantil e na educação básica como uma ajuda ao ensino do sistema numérico e da aritmética.
Nos países ocidentais, uma tábua com bolas similar ao ábaco russo mas com fios
mais direitos e um plano vertical tem sido comum (ver imagem).
O tipo de ábaco aqui mostrado é vulgarmene
utilizado para representar números sem o uso do lugar da ordem dos números.
Cada bola e cada fio tem exactamente o mesmo valor e, utilizado desta maneira,
pode ser utilizado para representar números acima de 100.
A vantagem educacional mais significante em
utilizar um ábaco, ao invés de bolas ou outro material de contagem, quando se
pratica a contagem ou a adição simples, é que isso dá aos estudantes uma ideia
dos grupos de 10 que são a base do nosso sistema numérico. Mesmo que os adultos
tomem esta base de 10 como garantida, é na realidade difícil de aprender.
Muitas crianças de 6 anos conseguem contar até 100 de seguida com somente uma
pequena consciência dos padrões envolvidos.
Ábaco para
deficientes visuais
A versão do ábaco para
deficientes visuais, chama-se soroban, e foi trazida ao Brasil no começo do
século XX por imigrantes japoneses. E foi em 1949, que o brasileiro Joaquim
Lima de Moraes, criou uma adaptação desse instrumento, para o uso de cegos.
Ele começou a ser utilizado nos anos 40 e 50, e veio aprimorar os cálculos
matemáticos, antes realizados no cubaritmo, que consiste em uma grade, onde se
colocam os números em braile.
Essencialmente, o soroban para
pessoas com deficiência visual, não é diferente do usado por videntes. As duas
únicas adaptações são em relação ás referências utilizadas, e o deslizamento
das contas.
Soroban adaptado para
deficientes visuais
A leitura dos valores no soroban
adaptado, é feita pelo tato. Por esse motivo, o deslizamento precisou incluir
um dispositivo para manter as contas em determinada posição.
O soroban para deficientes visuais possui duas partes, que se separam por uma
régua horizontal, chamada “régua de numeração”. Na parte inferior apresenta 4
contas em cada eixo. A régua apresenta, de 3 em 3 eixos, um ponto em relevo
para separar as classes dos números.
Ainda que haja calculadoras
específicas para deficientes visuais, o uso do soroban supre a falta de
instrumentos à mão, pois permite que com o tempo o usuário desenvolva
habilidades de cálculo mental, deixando de depender de instrumentos para realizar
os cálculos.
Tabela de Àbacos
Àbaco Escolar
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Abaco Russo
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Ábacos dos nativos americanos
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Abaco Japonês
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Abaco para
Deficientes Visuais
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Abaco para Deficientes Visuais
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Abaco utilizado
na idade Média
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Passo 2 ( Equipe)
Atividades
que utilizam o ábaco:
O ábaco de pinos é um material utilizado como
recurso para o trabalho de Matemática, para desenvolver atividades envolvendo o
Sistema de Numeração Decimal, a base 10 e o valor posicional dos algarismos,
além das 4 operações (com mais ênfase na adição e na subtração).
Este material é de origem oriental e tem como
referência as contagens realizadas por povos antigos.
No ábaco, cada pino equivale a uma posição do Sistema de
Numeração Decimal, sendo que o 1º, da direita para a esquerda representa a
unidade, e os imediatamente posteriores representam a dezena, centena, unidade
de milhar e assim por diante.
De acordo com a base 10 do sistema
indo-arábico, cada vez que se agrupam 10 peças em um pino, deve-se retirá-las e
trocá-las por uma peça que deverá colocada no pino imediatamente à esquerda,
representando 1 uma unidade da ordem subseqüente.
O ábaco de pinos tem uma grande vantagem frente ao
ábaco horizontal, pela possibilidade de movimentação das peças, que podem ser
retiradas e não só "passadas" de um lado para outro, como no ábaco
horizontal. Nas atividades de subtração, essa estratégia facilita muito o
manuseio do aluno, que necessita retirar e reagrupar peças em diferentes
posições.
Por ser um material bastante prático, ele pode
também ser feito com materiais de sucata. Embora não tenha tanta durabilidade
quanto os ábacos de madeira (que podem ser construídos por pais ou encomendados
para marceneiros), pode constituir uma alternativa para o problema de falta de
material. Para a base podem ser usadas caixas de sapato, formas de ovos,
bandejas de isopor, retângulos de madeira ou algo semelhante, onde possam ser
fixados palitos de churrasco, lápis de escrever, objetos retos que sirvam como
pinos. Se necessário pode-se passar cola nas bases para que os
"pinos" fiquem firmes e não caiam durante a realização das
atividades. Para servir de roscas, podem ser usadas tampinhas de refrigerante
(de preferência aquelas antigas de chapinha de ferro amassadas e furadas no meio),
canudinhos de refrigerante cortados em pequenos pedaços, ou mesmo arruelas e
porcas de mecânicos. O professor pode usar seus próprios recursos e descubrir
outras possibilidades de confeccionar o ábaco com seus alunos.
A seguir, são apresentadas algumas atividades onde é possível
introduzir o material, e principalmente o conceito da base 10 e do valor
posicional:
Nunca 10
Objetivos:
- Construir o significado de Sistema de Numeração Decimal
explorando situações-problema que envolvam contagem;
- Compreender e fazer uso do valor posicional dos algarismos, no
Sistema de Numeração Decimal.
Material:
Ábaco de pinos – 1 por aluno
2 dados por grupo
Metodologia:
Os alunos divididos em grupos deverão, cada um
na sua vez, pegar os dois dados e jogá-los,
conferindo o valor obtido. Este valor deverá ser representado no ábaco. Para
representá-lo deverão ser colocadas argolas correspondentes ao valor obtido no
primeiro pino da direita para a esquerda (que representa as unidades). Após
todos os alunos terem jogado os dados uma vez, deverão jogar os dados
novamente, cada um na sua vez.
Quando forem acumuladas 10 argolas (pontos) no
pino da unidade, o jogador deve retirar estas 10 argolas e trocá-las por 1
argola que será colocada no pino seguinte, representando 10 unidades ou 1
dezena. Nas rodadas seguintes, os jogadores continuam marcando os pontos,
colocando argolas no primeiro pino da esquerda para a direita (casa das
unidades), até que sejam acumuladas 10 argolas que devem ser trocadas por uma
argola que será colocada no pino imediatamente posterior, o pino das dezenas.
Vencerá quem colocar a primeira peça no terceiro
pino, que representa as centenas.
Com esta atividade inicial, é possível chamar a
atenção dos alunos para o fato do agrupamento dos valores, e que a mesma peça
tem valor diferente de acordo com o pino que estiver ocupando.
Possivelmente seja necessário realizar esta
atividade mais de uma vez. É importante que os alunos possam registrá-la em
seus cadernos, observando as estratégias e os pontos obtidos por cada um
dos jogadores, etc.
Contando os objetos
Objetivos:
- Realizar contagens, utilizando a
correspondência biunívoca (um a um);
- Construir o significado de Sistema de Numeração Decimal
explorando situações-problema que envolvam contagem;
- Compreender e fazer uso do valor posicional dos algarismos, no
Sistema de Numeração Decimal.
Material:
objetos
ábaco de pinos (1 por aluno)
Metodologia:
Poderão ser selecionados na classe objetos
(lápis de cor, giz, pedaços coloridos de papel, borrachas, etc.) em quantidades
superiores a 10 unidades, ou poderá ser pedido aos alunos que tragam objetos
(bolinhas de gude, figurinhas, botões, tampinhas, moedas, etc.) de casa para
montar uma "coleção". Os alunos deverão contar esses objetos, a
princípio um a um, registrando a quantidade obtida no ábaco (lembrando que
não podem deixar mais de 10 argolas num mesmo pino).
Posteriormente, os alunos deverão encontrar outras formas de contar a
quantidade de objetos que possuem. Pode-se propor ou aceitar contagens de 2 em
2, de 3 em 3, de 4 em 4..., até que os alunos percebam que quando têm
quantidades maiores que 10, podem registrá-las diretamente no pino das dezenas.
Operações
Objetivos:
- Compreender e utilizar as técnicas operatórias para adição e
subtração com trocas e reservas;
- Compreender e fazer uso das regras do Sistema de Numeração
Decimal;
- Fazer uso de material semi simbólico para registro de cálculos
de adição e subtração;
Metodologia:
Para iniciar o uso do ábaco como suporte nas
operações, é adequado que sejam propostas contas simples . Por exemplo:
21 + 6
Inicia-se a operação colocando no ábaco o
número de argolas correspondentes à quantidade representada pelo primeiro
numeral, 21. Portanto uma argola deverá ser colocada no primeiro pino
da direita para a esquerda (onde são colocadas as
unidades) e duas argolas deverão ser colocadas no segundo pino da direita para
a esquerda (onde são colocadas as dezenas). Em seguida, coloca-se o número de
argolas correspondentes à quantidade representada pelo segundo numeral;
portanto deverão ser colocadas 6 argolas no primeiro pino (das unidades) .
Faz-se a contagem encontrando 7 argolas no primeiro pino (7 unidades), e
2 argolas no segundo pino (2 dezenas), somando 27 argolas ou unidades.
O próximo
desafio será somar os valores 15 + 8.
Como a regra é não deixar mais de 10 argolas em um
mesmo pino, e 13 é mais que 10, dessa forma, 10 das 13 argolas devem ser
retiradas do primeiro pino e trocadas por uma argola que será colocada no
segundo pino, representando 10 unidades (1 dezena):
As atividades de subtração envolvem o raciocínio inverso da
adição:
14 – 3
A subtração com reserva ou troca, requer um pouco
mais de cuidado. Onde há na adição a troca das unidades para a dezena, haverá
na subtração a necessidade de decompor as dezenas (ou centenas dependendo da
operação) novamente em unidades (ou na casa imediatamente à direita). Por
exemplo:
O trabalho com a centena e a unidade de milhar é
semelhante, tendo apenas a diferença da quantidade, que também pode requerer um
trabalho mais apurado por conta da abstração da quantidade e do reconhecimento
dos valores.
Depois do trabalho com o material ábaco
concreto, pode-se passar a registrar o ábaco em forma de desenho, parecido com o
que vem aqui apresentado, pois o ábaco é justamente a transição do material
concreto - como o material dourado que tem o valor em si mesmo nas peças -, e
os símbolos e algoritmos, que são a representação da quantidade de forma
simbólica.
